Chapter 6 — Probability
Part 1: Basic Probability
1.1 Definitions
P(event) = number of favourable outcomes / total number of outcomes
0 ≤ P(A) ≤ 1. P(not A) = 1 − P(A), written P(A') = 1 − P(A).
Пояснение: Определения вероятности
Это основа всей темы: вероятность — число от 0 до 1, и P(A') = 1 − P(A) используется почти в каждой задаче. На экзамене часто спрашивают «вероятность того, что событие НЕ произойдёт» — это именно формула дополнения. Запомни: P = благоприятные исходы / все исходы, а дальше всё строится на этом.
1.2 Combined Events
- P(A or B) = P(A) + P(B) − P(A and B) (addition rule)
- If A and B are mutually exclusive: P(A or B) = P(A) + P(B)
- P(A and B) = P(A) × P(B) only if A and B are independent
- P(A and B) = P(A) × P(B|A) in general (conditional probability)
Пояснение: Комбинированные события
Это четыре формулы, которые покрывают 90% задач на вероятность на экзамене. Главное — определить тип событий: совместные или нет, зависимые или нет. «Или» — складываем вероятности (минус пересечение, если события совместные). «И» — умножаем (но если события зависимые, используем условную вероятность). На экзамене ошибка номер один — перепутать, когда складывать, а когда умножать.
How to Identify Event Types — Quick Reference
Decision Flowchart
Step 1: Are we combining two (or more) events?
→ NO: simple probability. P = favourable / total. STOP.
→ YES: go to Step 2.
Step 2: Can both events happen at the same time?
→ NO: mutually exclusive. P(A or B) = P(A) + P(B). STOP.
→ YES: go to Step 3.
Step 3: Does one event affect the probability of the other?
→ NO: independent. P(A and B) = P(A) × P(B).
→ YES: dependent. P(A and B) = P(A) × P(B|A).
Comparison Table
| Type | Key question | Formula | Short example |
|---|---|---|---|
| Mutually exclusive | Can they happen together? NO | $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$ | $\displaystyle \text{Die:}\ P(3 \text{ or } 5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6}$ |
| NOT mutually exclusive | Can they happen together? YES | $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)$ | Cards: P(red or king) |
| Independent | Does one affect the other? NO | $P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$ | Coin flip + die roll |
| Dependent | Does one affect the other? YES | $P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B|A)$ | 2 balls without replacement |
| With replacement | Put back after picking? YES | Probabilities stay the same | Pick, replace, pick again |
| Without replacement | Put back after picking? NO | Probabilities change each draw | Pick, keep, pick again |
| Conditional P(B|A) | "Given A happened, what's P(B)?" | $\displaystyle P(B|A) = \frac{P(A∩B)}{P(A})$ | P(passed | studied) |
Quick Examples to Build Intuition
Mutually exclusive vs not:
- Die: "rolling 2" and "rolling 5" → mutually exclusive (can't be both) ✓
- Die: "rolling even" and "rolling > 3" → NOT mutually exclusive (4 and 6 are both!) ✗
- Cards: "drawing a heart" and "drawing a spade" → mutually exclusive ✓
- Cards: "drawing a heart" and "drawing a king" → NOT mutually exclusive (king of hearts!) ✗
Independent vs dependent:
- Flipping coin, then rolling die → independent (coin doesn't affect die)
- Drawing from bag A, then from bag B → independent (separate bags)
- Drawing two cards from ONE deck without replacement → dependent (fewer cards left)
- Machine A works / Machine B works (separate machines) → independent
With vs without replacement:
- Bag: 3 red, 2 blue. Pick one, put it back, pick another → WITH replacement.
$\displaystyle P(1st red) = \frac{3}{5}, P(2nd red) = \frac{3}{5} \text{(nothing changed)}.$
$\displaystyle P\text{(both red)} = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$
- Same bag, pick one, keep it, pick another → WITHOUT replacement.
$\displaystyle P(1st red) = \frac{3}{5}, P(2nd red | 1st red) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} (\text{one red gone }!).$
$\displaystyle P\text{(both red)} = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$
Conditional probability — order matters!
- 100 students: 40 sport, 25 music, 10 both.
$\displaystyle P(sport | music) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$
$\displaystyle P(music | sport) = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$
These are different! P(A|B) ≠ P(B|A) in general.
На русском: Как различать типы событий
Шаг 1: Мы комбинируем два (или более) события?
→ НЕТ: простая вероятность. P = благоприятные исходы / все исходы.
→ ДА: переходим к Шагу 2.
Шаг 2: Могут ли оба события произойти одновременно?
→ НЕТ: события несовместные (mutually exclusive). P(A или B) = P(A) + P(B).
→ ДА: переходим к Шагу 3.
Шаг 3: Влияет ли исход одного события на вероятность другого?
→ НЕТ: события независимые (independent). P(A и B) = P(A) × P(B).
→ ДА: события зависимые (dependent). P(A и B) = P(A) × P(B|A).
| Тип | Ключевой вопрос | Пример | |
|---|---|---|---|
| Несовместные (mutually exclusive) | Могут ли произойти вместе? НЕТ | Кубик: «выпало 3» и «выпало 5» | |
| Совместные (not mutually exclusive) | Могут ли произойти вместе? ДА | Карты: «красная» и «король» (есть красный король!) | |
| Независимые (independent) | Влияет ли одно на другое? НЕТ | Монета + кубик; два разных мешка | |
| Зависимые (dependent) | Влияет ли одно на другое? ДА | Два шарика из ОДНОГО мешка без возвращения | |
| С возвращением (with replacement) | Вернули предмет? ДА | Вероятности НЕ меняются | |
| Без возвращения (without replacement) | Вернули предмет? НЕТ | Вероятности МЕНЯЮТСЯ после каждого шага | |
| Условная (conditional) | «Если произошло A, какова P(B)?» | P(сдал | готовился) |
Быстрые примеры:
- Монета и кубик → независимые (одно не влияет на другое)
- Два шарика из одного мешка без возвращения → зависимые (после первого шарика состав изменился)
- «Выпало чётное» и «выпало > 3» на одном кубике → совместные (4 и 6 удовлетворяют обоим!)
- Из колоды: «дама» и «туз» → несовместные (карта не может быть одновременно дамой и тузом)
Part 2: Tree Diagrams
Draw branches for each stage. Multiply along branches, add between branches.
Example (ISMA Prep Q14): Packet A: 12 seeds, 7 sunflower. Packet B: 15 seeds, 8 sunflower.
Take one from each.
Tree:
- P(sunflower from A) = 7/12, P(not sunflower from A) = 5/12
- P(sunflower from B) = 8/15, P(not sunflower from B) = 7/15
$\displaystyle P\text{(both sunflower)} = \frac{7}{12}\frac{8}{15} = \frac{56}{180} = \frac{14}{45}$
Part 3: Venn Diagrams
Example (ISMA Prep Q7): $\varepsilon = {4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}$
$A ∩ B = {5, 10, 15}$
$B' = {7, 8, 9, 11, 12, 13, 14}$
$A' = {4, 6, 7, 8, 14}$
From A': elements NOT in A = {4, 6, 7, 8, 14}
$So A = {5, 9, 10, 11, 12, 13, 15}$
From B': elements NOT in B = {7, 8, 9, 11, 12, 13, 14}
$So B = {4, 5, 6, 10, 15}$
Check A ∩ B = {5, 10, 15} ✓
Venn diagram:
- A only: {9, 11, 12, 13}
- B only: {4, 6}
- A ∩ B: {5, 10, 15}
- Outside both: {7, 8, 14}
Example (IB 2010): 3-magazine Venn diagram.
P: 60%, Q: 50%, R: 50%, P∩Q: 30%, Q∩R: 20%, P∩R: 30%, all three: 10%
Working outward from centre:
All 3: 10%
P∩Q only: $30-10 = 20%. Q∩R only: 20-10 = 10%. P∩R only: 30-10 = 20%.$
P only: $60-20-10-20 = 10%. Q only: 50-20-10-10 = 10%. R only: 50-10-10-20 = 10%.$
(a) Exactly two: $20+10+20 = 50%$
$(b)\ \text{At least two:}\ 50+10 = 60%$
(c) None: $100-(10+20+10+10+10+20+10) = 100-90 = 10%$
Part 4: Probability of Independent Events
Two events are independent if one does not affect the other.
Example (Schloss Krumbach Exe 7): Machine A: 6% malfunction. Machine B: 4% malfunction.
$(a)\ P\text{(both work)} = 0.94 \times 0.96 = 0.9024$
(b) P(at least one malfunctions) = 1 − P(both work) = 1 − 0.9024 = 0.0976
Part 5: Sampling With and Without Replacement
With replacement: probabilities stay the same each draw.
Without replacement: probabilities change (dependent events).
Part 6: Sector Graphs (Pie Charts)
Example (Croatian Q11): If grey sector = 120°, white sector = x°. The rest are other colours.
Total must be 360°. If red is unknown: read from the chart.
$Red = 360^{\circ} - (120^{\circ} + x^{\circ} + \text{other sectors })$
Convert to percentage: $\displaystyle \frac{angle}{360} \times 100%$
Part 7: Conditional Probability and Expected Value
7.1 Conditional Probability
P(B|A) = P(A and B) / P(A)
"Given that A has occurred, what is the probability of B?"
Пояснение: Условная вероятность
Условная вероятность — это «вероятность B, если уже произошло A». Формула P(B|A) = P(A∩B)/P(A) появляется на экзаменах в задачах с таблицами, диаграммами Венна и деревьями. Типичная ловушка: перепутать P(A|B) и P(B|A) — это разные числа с разными знаменателями.
7.2 Expected Value
$E(X) = Σ x · P(x)$
The expected value is the long-run average. For example, if you roll a fair die:
$\displaystyle E(X) = 1(\frac{1}{6}) + 2(\frac{1}{6}) + 3(\frac{1}{6}) + 4(\frac{1}{6}) + 5(\frac{1}{6}) + 6(\frac{1}{6}) = 3.5$
Пояснение: Математическое ожидание
E(X) — это средний результат, если повторять эксперимент много раз. На экзамене задачи на ожидаемое значение часто связаны с играми или лотереями: «Выгодно ли играть?» — посчитай E(X), и если оно положительное, то в среднем выигрываешь. Формула простая: каждый результат умножь на его вероятность и сложи всё вместе.
Exam Traps / Ловушки на экзамене
❌ Trap 1: Adding probabilities that aren't mutually exclusive
P(red or king) = 26/52 + 4/52 = 30/52 — WRONG!
✅ P(red or king) = 26/52 + 4/52 − 2/52 = 28/52 (two kings are red!)
Ловушка: нельзя просто складывать, если события совместные. Два короля — красные, их считают дважды. Вычти пересечение!
❌ Trap 2: Multiplying when events aren't independent
Bag: 5 red, 3 blue. Pick two without replacement. P(both red) = 5/8 × 5/8 — WRONG!
✅ P(both red) = 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14 (after first red, only 4 red left from 7)
Ловушка: без возвращения вероятность МЕНЯЕТСЯ. Забрали 1 красный → осталось 4 красных из 7.
❌ Trap 3: Forgetting the second order in "one of each"
Same bag. P(one red, $\displaystyle \text{one blue }) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = 15/56 — INCOMPLETE!$
✅ P(one of each) = 5/8 × 3/7 + 3/8 × 5/7 = 30/56 = 15/28 (red-blue OR blue-red)
Ловушка: «по одному каждого» — ДВА случая: КС и СК. Не забудь оба порядка!
❌ Trap 4: Confusing P(A|B) with P(B|A)
$P(\text{has fever } | has flu) \neq P(has flu | \text{has fever })$
✅ These are completely different numbers with different denominators.
Ловушка: P(A|B) и P(B|A) — РАЗНЫЕ величины. «Вероятность температуры при гриппе» ≠ «вероятность гриппа при температуре».
❌ Trap 5: Calculating "at least one" the hard way
P(at least one head in 3 flips) — listing HHH, HHT, HTH... — slow and error-prone.
✅ P(at least one) = 1 − P(none) = 1 − (1/2)³ = 7/8
Ловушка: «хотя бы один» ВСЕГДА считай как 1 − P(ни одного). Это намного быстрее и надёжнее.
❌ Trap 6: Tree diagram — adding along branches
P(A then B) = P(A) + P(B) — WRONG!
✅ Along branches: MULTIPLY. Between final outcomes: ADD.
Ловушка: по ветке дерева УМНОЖАЕМ. Между конечными исходами СКЛАДЫВАЕМ.
❌ Trap 7: Venn diagram — not starting from the centre
Three-circle Venn: P∩Q = 30%, all three = 10%. Writing 30% in P∩Q region — WRONG!
✅ P∩Q only (without R) = 30% − 10% = 20%. Always work from the CENTRE outward.
Ловушка: в Венне с 3 кругами ВСЕГДА начинай с центра (все три), потом пары (вычитай центр), потом «только один».
❌ Trap 8: Complement in Venn diagrams
P(A') = only what's outside both circles — WRONG if B exists!
✅ P(A') = everything NOT in A = "B only" + "outside both circles"
Ловушка: A' — это ВСЁ, что не в A, включая «только B». Не только область вне обоих кругов.
❌ Trap 9: Expected value — forgetting it's a weighted average
Die: E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5 — works for a fair die, but NOT for unequal probabilities!
✅ For unequal P: E(X) = Σ x × P(x). Must use each probability as a weight.
Ловушка: E(X) = Σ x·P(x). Для честного кубика совпадает со средним арифметическим, но для нечестных — нет!
