Chapter 7 — Statistics and Sets
Part 1: Measures of Central Tendency
- Mean = sum of values / number of values
- Median = middle value when data is ordered (or average of two middle values)
- Mode = most frequent value
1.1 Mean from a Frequency Table
Mean = Σ(f × x) / Σf
Пояснение: среднее по таблице частот
На экзамене часто дают таблицу с частотами и просят найти среднее. Формула простая: умножаешь каждое значение на его частоту, складываешь всё, делишь на общее число данных. Калькулятор посчитает арифметику, но ты должна правильно составить выражение Σ(f × x) / Σf.
1.2 Mean from Grouped Data
Use the midpoint of each class interval.
Estimated mean = Σ(f × midpoint) / Σf
Пояснение: среднее по сгруппированным данным
Когда данные сгруппированы в интервалы (например, 10–20, 20–30), точные значения неизвестны — поэтому берём середину каждого интервала. Это даёт приблизительное среднее. Главная ловушка — использовать границы интервала вместо середины (см. Trap 1 ниже).
Part 2: Cumulative Frequency
2.1 Cumulative Frequency Table
Running total of frequencies.
Example (ISMA Prep Q12):
| Time (t min) | Frequency | Cumulative Frequency |
|---|---|---|
| $0 < t \leq 10$ | 7 | 7 |
| $10 < t \leq 20$ | 26 | 33 |
| $20 < t \leq 30$ | 24 | 57 |
| $30 < t \leq 40$ | 14 | 71 |
| $40 < t \leq 50$ | 7 | 78 |
| $50 < t \leq 60$ | 2 | 80 |
Пояснение: таблица кумулятивных частот
Кумулятивная (накопительная) частота — это нарастающий итог. Каждая следующая строка включает все предыдущие. Эта таблица нужна, чтобы построить кумулятивный график, по которому потом находят медиану и квартили. На экзамене ISMA это было в Q12 — очень типичное задание.
2.2 Reading the Cumulative Frequency Graph
- Median: read across from n/2 on the y-axis (here n/2 = 40 → read ≈ 23 min)
- Lower quartile Q1: $\displaystyle \text{read from } \frac{n}{4} = 20 \rightarrow \approx 15 min$
- Upper quartile Q3: $\displaystyle \text{read from } \frac{3n}{4} = 60 \rightarrow \approx 32 min$
- $\text{Interquartile range } (IQR) = Q3 - Q1$
Пояснение: чтение кумулятивного графика
Это ключевой навык: по графику находишь медиану (проводишь горизонтальную линию от n/2), Q1 (от n/4) и Q3 (от 3n/4). Экзамен часто просит найти все три значения и IQR. Запомни: читаешь по оси Y → находишь точку на кривой → опускаешь на ось X.
2.3 Estimating Probability from Cumulative Frequency
P(t > 42): Using interpolation in the 40 < t ≤ 50 class:
$\displaystyle CF at t = 42: 71 + \frac{42-40}{10} \times 7 = 72.4$
$\displaystyle P(t > 42) = \frac{80 - 72.4}{80} = \frac{7.6}{80} \approx 0.095$
Пояснение: оценка вероятности через кумулятивную частоту
Это продвинутый вопрос: тебя просят найти вероятность P(t > x), используя кумулятивный график или интерполяцию внутри интервала. Формула: P(t > x) = (n − CF(x)) / n. Такие задания дают дополнительные баллы на экзамене и связывают статистику с темой вероятности (Chapter 6).
Part 3: Box-and-Whisker Plots
3.1 The Five-Number Summary
A box-and-whisker plot (box plot) displays five key values from a data set:
| Value | Meaning |
|---|---|
| Minimum | The smallest value |
| Q1 (lower quartile) | 25% of data is below this value |
| Median (Q2) | The middle value — 50% above, 50% below |
| Q3 (upper quartile) | 75% of data is below this value |
| Maximum | The largest value |
How to find the five-number summary:
- Order the data from smallest to largest.
- Median = the middle value (or average of the two middle values if n is even).
- Q1 = the median of the lower half of the data (values below the median).
- Q3 = the median of the upper half of the data (values above the median).
- Min and Max = the smallest and largest values.
Example 1: Find the five-number summary of: 4, 7, 8, 12, 15, 18, 20, 22, 25
Ordered (already sorted), $n = 9.$
Median = 5th value = 15
Lower half: $\displaystyle 4, 7, 8, 12 \rightarrow Q1 = \frac{7 + 8}{2} = 7.5$
Upper half: $\displaystyle 18, 20, 22, 25 \rightarrow Q3 = \frac{20 + 22}{2} = 21$
Five-number summary: $min = 4, Q1 = 7.5, median = 15, Q3 = 21, max = 25$
$IQR = Q3 - Q1 = 21 - 7.5 = 13.5$
Пояснение: сводка пяти чисел
Пять чисел (min, Q1, медиана, Q3, max) — основа для box plot. На экзамене могут дать данные и попросить найти все пять значений. Главное: сначала упорядочи данные, потом раздели на нижнюю и верхнюю половины для нахождения Q1 и Q3. IQR = Q3 − Q1 показывает разброс центральных 50% данных.
3.2 Drawing a Box-and-Whisker Plot
Steps:
- Draw a horizontal number line with an appropriate scale.
- Mark the five summary values above the line.
- Draw a box from Q1 to Q3.
- Draw a vertical line inside the box at the median.
- Draw whiskers (lines) from the box to the minimum and maximum.
Пояснение: как нарисовать box plot
На экзамене могут попросить построить box plot по данным. Алгоритм: найди 5 чисел (раздел 3.1) → нарисуй числовую ось → отметь точки → начерти коробку от Q1 до Q3 → линия медианы внутри → усы до min и max. Это чисто механическая процедура — если знаешь 5 чисел, построение простое.
3.3 Reading a Box Plot
Each part of a box plot tells you something about the data:
- The box shows where the middle 50% of data lies (the IQR).
- The median line shows the centre of the data.
- The whiskers show how far the extreme values stretch.
- If the median is closer to Q1 → data is positively skewed (skewed right — tail stretches to the right).
- If the median is closer to Q3 → data is negatively skewed (skewed left — tail stretches to the left).
- If the median is roughly centred in the box → data is approximately symmetric.
Пояснение: как читать box plot
Экзамен часто даёт готовый box plot и просит его интерпретировать. Нужно уметь определить: где центр данных (медиана), насколько данные разбросаны (IQR и range), и в какую сторону скошены (skew). Если медиана ближе к Q1 — правый скос (positively skewed), ближе к Q3 — левый (negatively skewed).
3.4 Parallel Box Plots (Comparative Box Plots)
When comparing two or more data sets, draw box plots on the same number line scale. This allows direct comparison of:
- Central tendency: which median is higher?
- Spread: which IQR is larger? Which range is larger?
- Consistency: a smaller IQR means more consistent data.
- Skewness: which data set is more symmetric?
Example 2: Ashley travels to school either by car or by bus. She recorded travel times (in minutes) over 15 days for each mode:
Car: 17, 12, 14, 5, 9, 28, 15, 14, 10, 16, 15, 14, 5, 11, 15
Bus: 19, 13, 12, 15, 30, 16, 17, 11, 14, 13, 15, 15, 12, 15, 12
Step 1 — Order each dataset:
Car (ordered): 5, 5, 9, 10, 11, 12, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 17, 28
Bus (ordered): 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 15, 16, 17, 19, 30
Step 2 — Five-number summaries (n = 15, so median is the 8th value; Q1 is median of values 1–7; Q3 is median of values 9–15):
| Min | Q1 | Median | Q3 | Max | |
|---|---|---|---|---|---|
| Car | 5 | 10 | 14 | 15.5 | 28 |
| Bus | 11 | 12 | 15 | 16 | 30 |
Step 3 — Draw parallel box plots:
Step 4 — Compare:
- The bus has a slightly higher median (15 vs 14), so bus trips are typically about 1 minute longer.
- The car has a larger IQR (5.5 vs 4) and a larger range (23 vs 19), meaning car travel times are more variable.
- The bus is more consistent (smaller IQR), meaning you can predict bus travel time more reliably.
- Both datasets are positively skewed (long right whisker due to occasional slow trips of 28 and 30 min).
Пояснение: параллельные box plot для сравнения
Это один из самых частых вопросов на экзамене: дают два box plot на одной шкале и просят сравнить. Всегда сравнивай по четырём пунктам: медиана (кто выше?), IQR (у кого больше разброс?), range (у кого шире?), skewness (симметричность). Используй слова «more consistent» и «more variable» — экзаменаторы это любят.
Part 4: Sets and Set Notation (MYP 5, Chapter 1)
4.1 Notation
- ∈ means "is an element of": 4 ∈ {2, 4, 6}
- ⊂ means "is a subset of": {a} ⊂ {a, b, c}
- ∅ or { } is the empty set
- A' is the complement of A
- A ∪ B is the union (A or B or both)
- A ∩ B is the intersection (A and B)
- ε (or U) is the universal set
Пояснение: обозначения множеств
Обозначения множеств — это «язык», который нужно знать наизусть. На экзамене часто дают вопросы True/False на понимание разницы между ∈ (элемент множества) и ⊂ (подмножество). Ключевое: a ∈ {a,b,c} — верно, но {a} ∈ {a,b,c} — неверно (это множество, а не элемент).
4.2 Venn Diagram Regions
A Venn diagram shows sets as overlapping circles inside a rectangle (the universal set U). Every element belongs to exactly one region.
| Region | Set notation | Description |
|---|---|---|
| Intersection | A ∩ B | Elements in BOTH A and B |
| Union | A ∪ B | Elements in A OR B (or both) |
| A only | A ∩ B' | Elements in A but NOT in B |
| B only | A' ∩ B | Elements in B but NOT in A |
| Complement of A | A' | Everything NOT in A (includes B only + outside) |
| Neither | $(A ∪ B)' = A' ∩ B'$ | Elements in NEITHER A nor B |
| Symmetric difference | A △ B | Elements in A or B but NOT both (both crescents) |
| Complement of intersection | (A ∩ B)' | Everything EXCEPT the overlap |
Пояснение: области диаграммы Венна
Диаграмма Венна — визуальный инструмент для задач на множества. На экзамене могут попросить заштриховать область (например, A ∩ B' — «только A»), или определить, какая область соответствует выражению. Знай все 8 стандартных областей из таблицы выше — это покрывает любой экзаменационный вопрос.
4.3 Key Formulas
Addition rule (inclusion-exclusion):
$n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)$
For the universal set:
n(U) = n(A only) + n(B only) + n(A ∩ B) + n(neither)
De Morgan's Laws:
- (A ∪ B)' = A' ∩ B' (not in the union = not in A AND not in B)
- (A ∩ B)' = A' ∪ B' (not in the intersection = not in A OR not in B)
Example: $U = {1,2,...,20}, A = {multiples of 3} = {3,6,9,12,15,18}, B = {multiples of 4} = {4,8,12,16,20}$
- A ∩ B = {12} (multiples of both 3 and 4 = multiples of 12)
- A only = {3, 6, 9, 15, 18} (in A but not B)
- B only = {4, 8, 16, 20} (in B but not A)
- $A ∪ B = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 20}, n(A ∪ B) = 6 + 5 - 1 = 10$
- $(A ∪ B)' = {1, 2, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19}, n = 20 - 10 = 10$
- $A' ∩ B = B only = {4, 8, 16, 20}$
Пояснение: формулы для множеств
Формула включения-исключения n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) — самая важная. Она нужна почти в каждой задаче на множества. Законы Де Моргана помогают с дополнениями: (A ∪ B)' = A' ∩ B'. На экзамене обычно дают числа для двух из трёх величин и просят найти третью.
4.4 True or False Examples (IB 2013, Q8)
(a) 4 ∈ {even integers} → True
(b) {a} ∈ {a, b, c} → False ({a} is a set, not an element; but {a} ⊂ {a,b,c} is True)
(c) { } ⊂ {3,4,5,6} → True (empty set is subset of every set)
(d) 0 ⊂ {0,1,2} → False (0 is an element, not a set; 0 ∈ {0,1,2} is True)
(e) 51 ∉ {prime numbers} → True (51 = 3 × 17)
(f) {n: n divisible by 2, 3, and 4} = {k: k is multiple of 24} → False
LHS = multiples of LCM(2,3,4) = multiples of 12, not 24.
Пояснение: вопросы True/False на множества
Такие вопросы были на IB 2013 (Q8) — дают утверждения и спрашивают, верны они или нет. Это проверка понимания обозначений: разница между ∈ и ⊂, свойства пустого множества, и внимательность к деталям (например, ∅ ⊂ A всегда верно, а 0 ⊂ A — бессмыслица, потому что 0 не множество).
Part 5: Sequences
5.1 Arithmetic Sequences
General term: uₙ = a + (n−1)d where a = first term, d = common difference.
Sum of n terms: Sₙ = (n/2)(2a + (n−1)d) or Sₙ = (n/2)(first + last)
Example (ISMA Prep Q23): First term = 1, d = 4. Find sum from 41st to 100th term.
$u_{41} = 1 + 40(4) = 161$
$u_{100} = 1 + 99(4) = 397$
Number of terms = 60
$\displaystyle S = \frac{60}{2}(161 + 397) = 30 \times 558 = 16740$
Пояснение: арифметические последовательности
Арифметическая последовательность — когда каждый следующий член отличается на одно и то же число d. Две формулы: uₙ = a + (n−1)d для n-го члена и Sₙ = (n/2)(first + last) для суммы. На экзамене ISMA (Q23) была именно такая задача. Главная ловушка — ошибка на единицу: u₁₀₀ = a + 99d, а не a + 100d.
5.2 Patterns and Induction
Example: Milestones problem. 742 gaps. Posters alternate 3, 4, 3, 4, ...
Odd-numbered gaps: 3 posters. Even-numbered: 4 posters.
$371 \text{of each }. Total = 371(3) + 371(4) = 1113 + 1484 = 2597$
Пояснение: закономерности и индукция
Не все задачи на последовательности используют стандартные формулы. Иногда нужно увидеть паттерн (чередование, группировка) и разбить задачу на части. Такие задачи проверяют логическое мышление — калькулятор тут не поможет, нужно правильно составить план решения.
Exam Traps / Ловушки на экзамене
❌ Trap 1: Grouped data — using class boundaries instead of midpoints
Class 10–20, frequency 5. Using 10 × 5 or 20 × 5 for the mean — WRONG!
✅ Use the MIDPOINT: (10+20)/2 = 15. Contribution = 15 × 5 = 75.
Ловушка: для сгруппированных данных используй СЕРЕДИНУ интервала, не границы. Средняя = Σ(f × середина) / Σf.
❌ Trap 2: Median without sorting
Data: 5, 2, 8, 1, 9. Median = 8 (middle in the list) — WRONG!
✅ Sort first: 1, 2, 5, 8, 9. Median = 5 (middle of sorted list).
Ловушка: для медианы данные ОБЯЗАТЕЛЬНО упорядочь по возрастанию. Потом бери средний элемент.
❌ Trap 3: Cumulative frequency plotted at midpoint
Plotting CF at the midpoint of each class interval — WRONG!
✅ CF is always plotted at the UPPER BOUNDARY of each class.
Ловушка: кумулятивную частоту отмечай на ВЕРХНЕЙ границе интервала, не в середине.
❌ Trap 4: IQR confused with range
IQR = max − min — WRONG! That's the range.
✅ IQR = Q3 − Q1. Range = max − min. They are different measures of spread.
Ловушка: IQR (межквартильный размах) = Q3 − Q1. Range (размах) = max − min. Не путай!
❌ Trap 5: Set notation — ∈ vs ⊂
{a} ∈ {a, b, c} — WRONG! {a} is a set, not an element.
✅ a ∈ {a, b, c} (element of). {a} ⊂ {a, b, c} (subset of). Curly braces = set.
Ловушка: ∈ для элементов: a ∈ A. ⊂ для множеств: {a} ⊂ A. Фигурные скобки делают элемент множеством!
❌ Trap 6: Arithmetic sequence — off-by-one error
$100th term: u_{100} = a + 100d — WRONG!$
✅ u₁₀₀ = a + 99d. Formula: uₙ = a + (n−1)d. The 1st term adds 0 times d.
Ловушка: u₁₀₀ = a + 99d, НЕ a + 100d. Первый член — n = 1, добавляем (1−1) = 0 раз d.
❌ Trap 7: Counting terms in a range
Terms from 41st to 100th: that's 100 terms — WRONG!
✅ Number of terms from k to n = n − k + 1 = 100 − 41 + 1 = 60.
Ловушка: количество членов от k-го до n-го = n − k + 1. От 41-го до 100-го = 60, не 100 и не 59.
❌ Trap 8: Empty set is a subset of every set
∅ ⊂ {1, 2, 3} → False? — WRONG!
✅ TRUE. The empty set is a subset of every set. This is a classic exam trick.
Ловушка: пустое множество ∅ является подмножеством ЛЮБОГО множества. Это часто проверяют на экзамене.