Chapter 5 — Geometry: Pythagoras, Similarity, Circle Theorems
Part 1: Pythagoras' Theorem
For a right triangle with hypotenuse c: **$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
The converse: if a² + b² = c², the triangle is right-angled.
1.1 Common Pythagorean Triples (memorise!)
3, 4, 5 (and multiples: 6,8,10; 9,12,15; etc.)
5, 12, 13
8, 15, 17
7, 24, 25
Пояснение: Пифагоровы тройки
Знание стандартных троек (3-4-5, 5-12-13 и т.д.) экономит время на экзамене: ты сразу видишь ответ без вычислений. Если стороны треугольника кратны тройке — он прямоугольный, и можно сразу применять теорему Пифагора или тригонометрию. На вступительных экзаменах IB задачи с этими числами встречаются постоянно.
1.2 Pythagoras in 3D
For a cuboid with dimensions l, w, h, the space diagonal d satisfies:
$d^{2} = l^{2} + w^{2} + h^{2}$
Example: Room floor 12m × 9m, space diagonal 17m.
$289 = 144 + 81 + h^{2} \rightarrow h^{2} = 64 \rightarrow h = 8 m. Volume = 12 \times 9 \times 8 = 864 m^{3}.$
Пояснение: Пифагор в 3D
Формула пространственной диагонали d² = l² + w² + h² — это просто теорема Пифагора, применённая дважды. На экзамене часто дают коробку или комнату и просят найти диагональ или одну из сторон. Запомни: сначала находишь диагональ основания, потом «поднимаешь» её в пространство.
Part 2: Similarity
2.1 Similar Figures
Two figures are similar if corresponding angles are equal and corresponding sides are in the same ratio (scale factor k).
Пояснение: Подобные фигуры
Подобие — одна из главных тем на экзамене. Главное: если фигуры подобны, все соответствующие стороны связаны одним коэффициентом k. Тебе нужно уметь находить k по двум известным сторонам и применять его к остальным. Это основа для задач на площадь и объём в разделе 2.3.
2.2 Triangle Similarity Tests
- AA — two pairs of equal angles
- SSS — all three pairs of sides in the same ratio
- SAS — two pairs of sides in the same ratio with equal included angle
Пояснение: Признаки подобия треугольников
На экзамене часто нужно доказать, что треугольники подобны, прежде чем находить неизвестную сторону. Самый частый признак — AA (два равных угла), потому что третий угол вычисляется автоматически. Ищи вертикальные углы, параллельные прямые и общие углы — это типичные подсказки в задачах.
2.3 Area and Volume of Similar Figures
If the scale factor of lengths is k, then:
- Area scale factor = k²
- Volume scale factor = k³
Example (ISMA Prep Q17): Vases A and B are similar. Heights: A = 10 cm, B = 15 cm.
Scale factor k = 15/10 = 3/2
Volume ratio = k³ = 27/8
Let V_A = volume of A. Then V_B = (27/8)V_A.
$V_B - V_A = 1197$
$\displaystyle \frac{27}{8}V_A - V_A = 1197$
$\displaystyle \frac{19}{8}V_A = 1197$
$\displaystyle V_A = 1197 \times \frac{8}{19} = 504 cm^{3}$
Пояснение: Площадь и объём подобных фигур
Это одна из самых частых ловушек: если длины увеличились в k раз, площадь увеличивается в k², а объём — в k³. Задача с вазами из подготовительного теста ISMA (Q17) — типичный пример. Алгоритм: найди k из отношения длин, возведи в нужную степень, составь уравнение. Калькулятор поможет с вычислениями, но уравнение нужно составить самой.
Part 3: Surface Area and Volume Formulae
3.1 Key Formulae
| Shape | Surface Area | Volume |
|---|---|---|
| Cuboid | 2(lw + lh + wh) | lwh |
| Cylinder (solid, two ends) | $2\pi rh + 2\pi r^{2}$ | $\pi r^{2}h$ |
| Cylinder (open can, one end) | $2\pi rh + \pi r^{2}$ | $\pi r^{2}h$ |
| Cylinder (hollow, no ends) | $2\pi rh$ | $\pi r^{2}h$ |
| Cone (solid, with base) | $\pi rl + \pi r^{2} (l = \text{slant height })$ | $\displaystyle \frac{1}{3}\pi r^{2}h$ |
| Cone (open, no base) | $\pi rl$ | $\displaystyle \frac{1}{3}\pi r^{2}h$ |
| Sphere | $4\pi r^{2}$ | $\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^{3}$ |
| Hemisphere | $3\pi r^{2} \text{(see note)}$ | $\displaystyle \frac{2}{3}\pi r^{3}$ |
Note on hemisphere: 3πr² includes the flat circular base (2πr² curved + πr² base). For composite shapes where the flat face is internal (e.g., hemisphere on top of a cylinder), use only the curved surface area: 2πr².
Пояснение: Формулы площади поверхности и объёма
Эти формулы не нужно выводить — их нужно знать наизусть. На экзамене часто дают цилиндр, конус или сферу и просят найти площадь или объём. Главная сложность — не перепутать открытые и закрытые фигуры (цилиндр без крышки, полусфера с основанием или без). Обрати внимание на разницу между полной и боковой поверхностью — это напрямую пригодится в задачах на составные тела (раздел 3.2).
3.2 Composite Solids
Example (ISMA Prep Q21): Cylinder + hemisphere, both radius x cm, cylinder height 3x cm.
Total surface area = 81π cm².
Surface area = curved cylinder + base of cylinder + curved hemisphere
$= 2\pi x(3x) + \pi x^{2} + 2\pi x^{2}$
$= 6\pi x^{2} + \pi x^{2} + 2\pi x^{2} = 9\pi x^{2}$
$9\pi x^{2} = 81\pi \rightarrow x^{2} = 9 \rightarrow x = 3$
Volume = πr²h + (2/3)πr³ = π(9)(9) + (2/3)π(27) = 81π + 18π = 99π
Mass = 840 g. Density = 840/(99π) ≈ 2.70 g/cm³ → Aluminium
Пояснение: Составные тела
На экзамене ISMA (Q21) дают фигуру из двух или трёх частей (например, цилиндр + полусфера) и просят найти общую площадь или объём. Ключ: разбей фигуру на простые части, посчитай каждую отдельно, но не забудь убрать внутренние стыковочные поверхности (они закрыты). Калькулятор посчитает π, но формулу и логику разбивки нужно знать самой.
Part 4: Circle Theorems
4.1 Key Theorems
- Angle at the centre = 2 × angle at the circumference (same arc)
- Angle in a semicircle = 90° (angle subtended by diameter)
- Angles in the same segment are equal
- Opposite angles of a cyclic quadrilateral sum to 180°
- Tangent-radius: tangent ⊥ radius at point of contact
- Equal tangents from an external point: if two tangents are drawn from an external point P to a circle, then PA = PB (equal length)
- Perpendicular from centre bisects chord: if a line from the centre is perpendicular to a chord, it bisects the chord (AM = BM). Conversely, a line from the centre to the midpoint of a chord is perpendicular to it.
- Alternate segment theorem: angle between tangent and chord = angle in alternate segment
Пояснение: Теоремы об окружности
Теоремы об окружности — тема, которой нет в латвийской программе 9 класса, но она регулярно встречается на экзаменах IB. Самые частые: угол в полуокружности = 90°, центральный угол = 2 × вписанный, касательная ⊥ радиусу. В задаче обычно нужно применить 2-3 теоремы цепочкой. Запомни все 8 теорем и тренируйся находить, какая из них подходит к конкретному чертежу.
4.2 Worked Example (ISMA Prep Q18)
A, B, C, D on a circle, centre O. DOB is a diameter. Angle ACD = 43°.
Find angle ADB.
Solution:
- ∠DAB = 90° (angle in a semicircle — A sees diameter DOB)
- ∠ABD = ∠ACD = 43° (angles in the same segment — both subtend arc AD)
- In △DAB: $∠ADB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 43^{\circ} = 47^{\circ}$
Пояснение: Решение задач на теоремы об окружности
Этот пример из подготовительного теста ISMA (Q18) показывает типичный подход: сначала найди диаметр (он даёт угол 90°), потом используй теорему о вписанных углах (углы, опирающиеся на одну дугу, равны), и в конце — сумма углов треугольника. На экзамене обязательно подписывай каждый шаг — за какую теорему ты получаешь каждый угол, иначе баллы снимут.
Part 5: Perimeter of Composite Shapes
Example (ISMA Prep Q22): Trapezium ABCD: AB = 6 cm, AD = 7 cm (perpendicular to AB and DC), DC = 11 cm.
(a) Area = (1/2)(AB + DC) × AD = (1/2)(6 + 11) × 7 = 59.5 cm²
(b) BC: Drop perpendicular from B to DC. The horizontal distance = 11 − 6 = 5.
$BC = \sqrt{7^{2} + 5^{2}} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74} \approx 8.60 cm$
Exam Traps / Ловушки на экзамене
❌ Trap 1: Scale factor confusion — area vs length
Lengths scale by k = 3, so area also scales by 3 — WRONG!
✅ Length factor k → area factor k² → volume factor k³. If k = 3: areas × 9, volumes × 27.
Ловушка: длины × k, площади × k², объёмы × k³. Если длина утроилась — площадь увеличилась в 9 раз, объём — в 27.
❌ Trap 2: Hemisphere — forgetting the circular base
Hemisphere SA = 2πr² only — INCOMPLETE for a standalone hemisphere!
✅ Full hemisphere SA = 2πr² (curved) + πr² (flat base) = 3πr². If joined to a cylinder, don't count the joining face.
Ловушка: полная SA полусферы = 3πr². Но если полусфера стоит на цилиндре — основание не считаем (оно закрыто).
❌ Trap 3: Centre angle = circumference angle
"Angle at centre equals angle at circumference" — WRONG!
✅ Angle at centre = 2 × angle at circumference (for the same arc).
Ловушка: центральный угол = УДВОЕННЫЙ вписанный угол. Не равный — вдвое больший!
❌ Trap 4: Angle in semicircle applied to wrong angle
"All angles in a semicircle triangle are 90°" — WRONG!
✅ Only the angle OPPOSITE the diameter = 90°. The other two angles add up to 90°.
Ловушка: 90° — только тот угол, который опирается на ДИАМЕТР. Остальные углы треугольника — нет.
❌ Trap 5: Tangent-radius — not using the right angle
Forgetting that the tangent meets the radius at 90° — missing a key right angle for calculations.
✅ Tangent ⊥ radius at point of contact. Use this for Pythagoras or trigonometry.
Ловушка: касательная ⊥ радиус в точке касания. Это даёт прямой угол — используй для теоремы Пифагора или тригонометрии.
❌ Trap 6: Pythagorean triple — assuming right angle without checking
Triangle with sides 6, 8, 11. Using 6² + 8² = c² — but is it right-angled?
✅ Check: 6² + 8² = 36 + 64 = 100. But 11² = 121 ≠ 100. NOT right-angled! Must use cosine rule.
Ловушка: не предполагай прямой угол — ПРОВЕРЯЙ. Если a² + b² ≠ c², треугольник не прямоугольный.
