Chapter 3 — Coordinate Geometry
Part 1: Distance, Midpoints, and Gradient
1.1 Distance Between Two Points
For points A(x₁, y₁) and B(x₂, $y_{2}):$
$d = √[(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}]$
Пояснение: расстояние между двумя точками
Формула расстояния — это просто теорема Пифагора, применённая к координатной плоскости. На экзамене она нужна почти в каждой задаче по координатной геометрии: найти длину отрезка, проверить, равнобедренный ли треугольник, или вычислить периметр фигуры по координатам вершин.
1.2 Midpoint
$\displaystyle M = (\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})$
Пояснение: середина отрезка
Формула середины — среднее арифметическое координат. На экзамене часто просят найти середину отрезка, а потом через неё провести прямую. Также используется в обратную сторону: если знаешь середину и один конец — найди второй конец.
1.3 Gradient (Slope)
$\displaystyle m = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{rise}{run}$
- Positive gradient → line goes up from left to right
- Negative gradient → line goes down from left to right
- Zero gradient → horizontal line
- Undefined gradient → vertical line
Пояснение: градиент (наклон) прямой
Градиент показывает, насколько круто идёт линия. Это одно из самых важных понятий в координатной геометрии — оно связывает всё: уравнения прямых, параллельность, перпендикулярность, и даже тригонометрию (см. следующий раздел 1.4). На экзамене ISMA почти всегда есть задача, где нужно найти градиент по двум точкам.
1.4 Gradient and Angle — the tan Connection
The gradient of a line is directly linked to trigonometry:
m = tan θ where θ is the angle the line makes with the positive x-axis (measured anticlockwise).
Why? In the rise/run triangle, the angle θ is at the base. The opposite side is the rise, the adjacent side is the run — so tan θ = opposite/adjacent = rise/run = m.
To find the angle from a gradient: $\theta = \tan^{-1}(m)$
Example: $\displaystyle \frac{Alinehasgradient3}{4}.$
θ = tan⁻¹(0.75) = 36.9° (the line makes a 36.9° angle with the x-axis)
Example: A line makes a 60° angle with the x-axis.
$m = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \approx 1.73$
Key values to recognise:
| Gradient m | Angle θ |
|---|---|
| 0 | 0° (horizontal) |
| $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$ | 30° |
| 1 | 45° |
| $\sqrt{3} \approx 1.732$ | 60° |
| undefined | 90° (vertical) |
Negative gradients give obtuse angles: if m = −2, then θ = tan⁻¹(−2) ≈ 180° − 63.4° = 116.6°.
Пояснение: связь градиента и угла через тангенс
Это мостик между координатной геометрией и тригонометрией — две темы, которые на экзамене часто объединяют в одной задаче. Формула m = tan θ позволяет перейти от наклона к углу и обратно. На калькуляторе есть tan⁻¹, так что вычислить угол легко — главное правильно подставить градиент.
1.5 Parallel and Perpendicular Lines
- Parallel lines have equal gradients: $m_{1} = m_{2}$
- Perpendicular lines: $m_{1} \times m_{2} = -1 \text{(negative reciprocals)}$
Пояснение: параллельные и перпендикулярные прямые
На экзамене часто дают уравнение одной прямой и просят найти уравнение другой, параллельной или перпендикулярной ей. Правило простое: параллельные — одинаковый градиент, перпендикулярные — градиенты перемножаются в −1. Самая частая ошибка — забыть поменять знак у перпендикулярного градиента.
Part 2: Equations of Straight Lines
2.1 Gradient-Intercept Form
$y = mx + c$
where m = gradient, c = y-intercept
Пояснение: форма y = mx + c
Это самая удобная форма уравнения прямой — по ней сразу видно градиент (m) и точку пересечения с осью y (c). На экзамене часто дают уравнение в другой форме и просят привести к y = mx + c, чтобы определить наклон и пересечение. Именно так решается Q10 из ISMA prep test.
2.2 General Form
ax + by + c = 0
Example (ISMA Prep Q10): The line L has equation 2y + 7x = 10.
(a) Find the gradient: $\displaystyle 2y = -7x + 10 \rightarrow y = -\frac{7}{2}x + 5 \rightarrow gradient = \frac{-7}{2}$
(b) y-intercept: when x = 0, y = 5 → (0, 5)
Пояснение: общая форма уравнения прямой
Общая форма ax + by + c = 0 встречается в условиях задач, когда уравнение записано не в «удобном» виде. Главный навык — уметь быстро перевести из общей формы в y = mx + c, выразив y. Это чисто алгебраический приём, который экономит время на экзамене.
2.3 Finding the Equation of a Line
**Given gradient m and a point (x₁, $y_{1}):$
$y - y_{1} = m(x - x_{1})$
Given two points: Find m first, then use point-gradient form.
Example (IB 2010, Q5): $\displaystyle f(x) = -\frac{1}{4}x + 4$
$(a)\ A: set y = 0 \rightarrow x = 16 \rightarrow A(16, 0). B: set x = 0 \rightarrow y = 4 \rightarrow B(0, 4).$
(b) M = midpoint of AB = (8, 2). Line g passes through M(8, 2) and C(0, −1).
Gradient = (2−(−1))/(8−0) = 3/8
Equation: $\displaystyle y = \frac{3}{8}x - 1$
$(c)\ MC = \sqrt{8^{2} + 3^{2}} = \sqrt{73}$
Пояснение: как найти уравнение прямой
Это самый частый тип задачи по координатной геометрии на экзамене. Тебе дают точку и градиент (или две точки) — и нужно записать уравнение прямой. Формула y − y₁ = m(x − x₁) работает всегда. Весь раздел Part 1 (расстояние, середина, градиент) нужен именно для того, чтобы подготовить данные для этой формулы.
Part 3: Functions — Domain, Range, Notation
3.1 Function Notation
f(x) means "the function f applied to x". If f(x) = 2x + 3, then f(5) = 13.
Пояснение: запись функций
f(x) — это просто способ записать формулу с именем. Когда пишут f(5), это значит «подставь 5 вместо x». На экзамене это встречается постоянно: тебя просят найти f(−2), f(a+1) или решить f(x) = 0. Важно не бояться записи — это обычная подстановка.
3.2 Domain and Range
- Domain: the set of all possible input values (x-values)
- Range: the set of all possible output values (y-values)
Example: $\displaystyle f(x) = \frac{1}{2x - 7}$
Domain: all real x except x = 7/2 (denominator ≠ 0)
Range: all real y except y = 0
Example: $\displaystyle y = \frac{-x}{|x|}$
When x > 0: $\displaystyle y = \frac{-x}{x} = -1$
When x < 0: $\displaystyle y = \frac{-x}{-x} = 1$
Domain: $x \neq 0. Range: {-1, 1}$
Пояснение: область определения и область значений
Domain — это какие x можно подставить (нельзя делить на ноль, нельзя брать корень из отрицательного). Range — какие y получаются. На экзамене часто просят найти domain для дробей и корней. Запомни два правила: знаменатель ≠ 0 и подкоренное выражение ≥ 0.
3.3 Composite Functions
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) — apply f first, then g.
Example: $\displaystyle f(x) = \cos\frac{x}{3}, g(x) = 2x^{2} - 1$
$\displaystyle (g ∘ f)(x) = 2cos^{2}\frac{x}{3} - 1$
$\displaystyle (f ∘ g)(x) = \cos(\frac{2x^{2}-1}{3})$
Пояснение: композиция функций
Композиция g(f(x)) — это «функция внутри функции»: сначала применяешь f, потом к результату применяешь g. На экзамене важно не перепутать порядок: g ∘ f означает «сначала f, потом g» (читается справа налево). Задачи обычно просят вычислить g(f(2)) или записать формулу g(f(x)).
Part 4: Direct and Inverse Proportion
4.1 Direct Proportion
y is directly proportional to x: y = kx (or y ∝ x)
Пояснение: прямая пропорциональность
«Прямо пропорционально» значит: если x увеличивается, y тоже увеличивается, причём в одинаковое число раз. Формула y = kx, где k — коэффициент пропорциональности. На экзамене дают одну пару значений, чтобы найти k, а потом просят вычислить y для другого x.
4.2 Inverse Proportion
y is inversely proportional to x: y = k/x (or y ∝ 1/x)
Can also be proportional to powers: $\displaystyle y \propto x^{2}, y \propto \frac{1}{x^{2}}, etc.$
Example (ISMA Prep Q15): $A \text{is inversely proportional to } C^{2}.$
A = 40 when C = 1.5.
$\displaystyle A = \frac{k}{C^{2}} \rightarrow 40 = \frac{k}{1.5^{2}} \rightarrow 40 = \frac{k}{2.25} \rightarrow k = 90$
When A = 1000: 1000 = 90/C² → C² = 90/1000 = 0.09 → C = 0.3
Пояснение: обратная пропорциональность
«Обратно пропорционально» значит: если x растёт, y уменьшается. Формула y = k/x (или y = k/x², если пропорционально квадрату). Самая частая ловушка — перепутать прямую и обратную пропорциональность и написать y = kx² вместо y = k/x². Задача типа Q15 из ISMA prep test — классический пример этой темы.
Part 5: Quadratic Functions and Their Graphs
5.1 The Parabola y = ax² + bx + c
- If a > 0: opens upward (minimum point)
- If a < 0: opens downward (maximum point)
- $\text{x-intercepts:}\ \text{solve ax }^{2} + bx + c = 0$
- $\text{y-intercept:}\ set x = 0 \rightarrow y = c$
- Axis of symmetry: $\displaystyle x = \frac{-b}{2a}$
- Vertex: $\displaystyle (\frac{-b}{2a}, f\frac{-b}{2a})$
Пояснение: парабола y = ax² + bx + c
Квадратичная функция — одна из главных тем на экзамене. Нужно уметь находить вершину, ось симметрии, точки пересечения с осями. Знак «a» определяет направление: a > 0 — «улыбка» (минимум), a < 0 — «грусть» (максимум). Формула x = −b/(2a) для оси симметрии экономит время — не нужно выделять полный квадрат.
5.2 Vertex Form y = a(x − h)² + k
Vertex at (h, k). Use completing the square to convert.
Example (Schloss Krumbach, Exe 5): $f(x) = -x^{2} - 2x + 8$
$\text{x-intercepts:}\ -x^{2}-2x+8 = 0 \rightarrow x^{2}+2x-8 = 0 \rightarrow (x+4)(x-2) = 0 \rightarrow x = -4, x = 2$
$\text{y-intercept:}\ f(0) = 8$
Vertex: $\displaystyle x = \frac{-b}{2a} = -\frac{-2}{2\times (-1}) = -1, f(-1) = -1+2+8 = 9$
Vertex: $(-1, 9). \text{Axis of symmetry }: x = -1$
Пояснение: вершинная форма y = a(x − h)² + k
В этой форме вершина параболы читается прямо из уравнения: (h, k). Главная ловушка — знак: в y = (x − 3)² + 5 вершина (3, 5), а не (−3, 5). Выделение полного квадрата (completing the square) — способ перевести из стандартной формы в вершинную. На экзамене это один из самых частых приёмов.
5.3 Factorised Form y = a(x − p)(x − q)
p and q are the x-intercepts. Axis of symmetry: x = (p+q)/2.
Example: $f(x) = 30x - 6x^{2} = 6x(5 - x)$
x-intercepts: x = 0 and x = 5
Vertex: $x = 2.5, f(2.5) = 30(2.5) - 6(6.25) = 75 - 37.5 = 37.5$
Vertex A = (2.5, 37.5). Axis of symmetry: x = 2.5.
Пояснение: разложенная форма y = a(x − p)(x − q)
Если парабола уже разложена на множители, то p и q — это x-пересечения (корни). Ось симметрии — ровно посередине между ними: x = (p + q)/2. Эта форма удобна, когда задача даёт корни или просит найти уравнение параболы по точкам пересечения с осью x. Связь с факторизацией из Главы 1 — квадратное уравнение раскладывается на множители теми же методами.
Exam Traps / Ловушки на экзамене
❌ Trap 1: Gradient formula — swapping x and y
$m = (x_{2} - x_{1})/(y_{2} - y_{1}) — WRONG!$
✅ m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) — y-difference on TOP, x-difference on BOTTOM.
Ловушка: градиент = Δy/Δx. Разность y — в числителе, разность x — в знаменателе. Не путай!
❌ Trap 2: Perpendicular gradient — forgetting the negative
Line has gradient 2. Perpendicular gradient = 1/2 — WRONG!
✅ Perpendicular gradient = −1/2. The product must equal −1: m₁ × m₂ = −1.
Ловушка: перпендикулярный градиент — ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ обратный. Градиент 2 → перпендикуляр −1/2, не 1/2.
❌ Trap 3: y-intercept — setting y = 0 instead of x = 0
y-intercept of y = 3x + 5: set y = 0 → x = −5/3 — WRONG! (that's the x-intercept!)
✅ y-intercept: set x = 0 → y = 5. The point is (0, 5).
Ловушка: y-пересечение → подставляй x = 0. x-пересечение → подставляй y = 0. Частая путаница!
❌ Trap 4: Inverse proportion — wrong formula direction
"y is inversely proportional to x²" → y = kx² — WRONG!
✅ Inversely proportional means DIVIDE: y = k/x².
Ловушка: «обратно пропорционально» = ДЕЛИМ: y = k/x². «Прямо пропорционально» = УМНОЖАЕМ: y = kx².
❌ Trap 5: Vertex form — sign error in coordinates
$y = (x - 3)^{2} + 5. \text{Vertex at } (-3, 5) — WRONG!$
✅ y = (x − h)² + k → vertex is (h, k) = (3, 5). The sign FLIPS from the bracket.
Ловушка: y = (x − 3)² + 5 → вершина (3, 5), не (−3, 5). В скобках минус → координата плюс.
❌ Trap 6: Midpoint — subtracting instead of averaging
Midpoint of (2, 8) and (6, 4): $M = (6-2, 8-4) = (4, 4) — WRONG!$
✅ M = ((2+6)/2, (8+4)/2) = (4, 6). Midpoint is the AVERAGE, not the difference.
Ловушка: середина отрезка — это СРЕДНЕЕ координат, а не разность. M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2).
❌ Trap 7: Domain restriction — forgetting denominator ≠ 0
f(x) = 1/(x − 3). Domain: "all real numbers" — WRONG!
✅ Domain: all real x except x = 3 (denominator cannot equal zero).
Ловушка: если в формуле есть дробь — знаменатель ≠ 0. Если есть √ — подкоренное ≥ 0.
