Chapter 1 — Algebra: Index Laws, Expansion, and Factorisation
Part 1: Index Laws (Exponents)
1.1 The Basic Laws
| Law | Rule | Example |
|---|---|---|
| Multiplication | $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ | $x^{3} \times x^{5} = x^{8}$ |
| Division | $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$ | $y^{15} \div y^{3} = y^{12}$ |
| Power of a power | $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ | $(x^{2})^{4} = x^{8}$ |
| Power of a product | $(ab)^{n} = a^{n} \times b^{n}$ | $(2x)^{3} = 8x^{3}$ |
| Power of a quotient | $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$ | $\displaystyle \left(\frac{x}{3}\right)^{2} = \frac{x^{2}}{9}$ |
| Zero index | $a^{0} = 1$ | $5^{0} = 1$ |
| Negative index | $\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$ | $\displaystyle x^{-2} = \frac{1}{x^{2}}$ |
| Rational index (root) | $\displaystyle a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ | $\displaystyle 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$ |
| Rational index (general) | $\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^{m}$ | $\displaystyle 27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^{2} = 9$ |
Пояснение: Основные законы степеней
Эти 9 правил — фундамент всей алгебры на экзамене. Без них не получится упрощать выражения, раскладывать на множители и решать уравнения. Особенно важны дробные и отрицательные степени (разделы 4.1–4.2) — они встречаются почти в каждом варианте ISMA. На экзамене калькулятор посчитает числа, но записать и упростить выражение нужно самой.
1.2 Key Powers to Memorise
| Power | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| $2^{n}$ | 4 | 8 | 16 | 32 |
| $3^{n}$ | 9 | 27 | 81 | 243 |
| $4^{n}$ | 16 | 64 | 256 | — |
| $5^{n}$ | 25 | 125 | 625 | — |
Also: $2^{6} = 64, 2^{7} = 128, 2^{8} = 256, 2^{9} = 512, 2^{10} = 1024$
Пояснение: Степени, которые нужно знать наизусть
Хотя на экзамене есть калькулятор, знание этих степеней экономит время: ты сразу видишь, что 27 = 3³ или 64 = 2⁶ = 4³, и не тратишь секунды на вычисления. Это особенно полезно при работе с дробными степенями (раздел 4.1), где нужно быстро извлекать корни.
1.3 Common Mistakes
❌ (2x³)² = 2x⁶ — WRONG!
✅ (2x³)² = 2² × (x³)² = 4x⁶
❌ x³ + x⁴ = x⁷ — WRONG! (index laws only apply to multiplication/division, NOT addition!)
✅ x³ + x⁴ cannot be simplified further (but you can factor: x³(1 + x))
❌ (x + y)² = x² + y² — WRONG!
✅ (x + y)² = x² + 2xy + y²
Пояснение: Типичные ошибки со степенями
Эти три ошибки — самые частые на экзамене. Проверяющие специально подбирают задания, где легко перепутать: забыть возвести коэффициент, «сложить» показатели при сложении, или потерять средний член в квадрате суммы. Если запомнишь эти ловушки сейчас — не потеряешь лёгкие баллы на экзамене.
Part 2: Algebraic Expansion
2.1 The Distributive Law
$a(b + c) = ab + ac$
Пояснение: Распределительный закон (раскрытие скобок)
Это самое базовое правило раскрытия скобок — умножаешь каждый член внутри скобки на множитель перед ней. Используется буквально в каждой задаче с алгеброй: при упрощении выражений, решении уравнений, и как первый шаг при раскрытии более сложных скобок (раздел 2.2).
2.2 Product of Two Binomials (FOIL)
$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$
Пояснение: Произведение двух двучленов (FOIL)
FOIL — это метод умножения двух скобок: First, Outer, Inner, Last. Это обратная операция к факторизации (раздел 3.3–3.4). На экзамене часто нужно и раскрыть скобки, и собрать обратно — поэтому важно свободно владеть обоими направлениями.
2.3 Special Products (MUST MEMORISE)
| Name | Expansion |
|---|---|
| Perfect square | $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ |
| Perfect square | $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ |
| Difference of two squares | $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$ |
Пояснение: Формулы сокращённого умножения
Три формулы, которые нужно знать наизусть: квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Они появляются на экзамене и в прямом виде (раскрой скобки), и в обратном (разложи на множители — раздел 3.2). Самая частая ошибка — забыть средний член 2ab в квадрате суммы/разности.
2.4 Worked Examples
Example 1: Expand and simplify $5x(x + 2)(3x - 4)$
First expand (x + 2)(3x − 4):
$= 3x^{2} - 4x + 6x - 8 = 3x^{2} + 2x - 8$
Then multiply by 5x:
$= 5x(3x^{2} + 2x - 8) = 15x^{3} + 10x^{2} - 40x$
Example 2: Expand $(3x - 2)^{2}$
$= (3x)^{2} - 2(3x)(2) + 2^{2} = 9x^{2} - 12x + 4$
Example 3: Expand $(2x - 3)^{2} - (x + 1)(x - 1)$
$= (4x^{2} - 12x + 9) - (x^{2} - 1) = 3x^{2} - 12x + 10$
Пояснение: Разобранные примеры на раскрытие скобок
Обрати внимание на Пример 3: там комбинируются формула квадрата разности и разность квадратов в одном выражении. Именно такие «комбинированные» задания часто дают на экзамене, чтобы проверить, что ты не путаешь формулы и правильно раскрываешь знак минус перед второй скобкой.
Part 3: Factorisation
Factorisation is the reverse process of expansion: writing an expression as a product of its factors.
3.1 Factorising with Common Factors
Always check this FIRST!
$6x^{2} + 9x = 3x(2x + 3)$
$12a^{2}b - 8ab^{2} = 4ab(3a - 2b)$
Пояснение: Вынесение общего множителя
Первый шаг любой факторизации — всегда проверь, есть ли общий множитель. Даже если дальше нужно применить другой метод (разность квадратов или разложение трёхчлена), сначала вынеси общий множитель. На экзамене за это дают баллы, а пропуск этого шага — частая потеря баллов.
3.2 Difference of Two Squares
$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$
Examples:
- $x^{2} - 9 = (x + 3)(x - 3)$
- $4x^{2} - 25 = (2x + 5)(2x - 5)$
- $x^{4} - 16 = (x^{2} + 4)(x^{2} - 4) = (x^{2} + 4)(x + 2)(x - 2)$
Пояснение: Разность квадратов
Формула a² − b² = (a + b)(a − b) — одна из самых часто используемых на экзамене. Важно помнить: СУММА квадратов (a² + b²) НЕ раскладывается! Обрати внимание на последний пример: x⁴ − 16 раскладывается в два шага — такие «цепочки» любят давать на экзамене.
3.3 Factorising Quadratic Trinomials: x² + bx + c
We look for two numbers α and β such that:
- $\alpha + \beta = b (sum = \text{coefficient of } x)$
- α × β = c (product = constant term)
Then: $x^{2} + bx + c = (x + \alpha )(x + \beta )$
Example: Factorise $x^{2} - 2x - 35$
We need: $sum = -2, product = -35$
The numbers are: +5 and −7 (5 + (−7) = −2, 5 × (−7) = −35)
Answer: $(x + 5)(x - 7)$
Пояснение: Разложение квадратного трёхчлена (коэффициент при x² равен 1)
Это простой случай факторизации: нужно подобрать два числа, дающих нужную сумму и произведение. На экзамене такие задания — «быстрые баллы», если навык отработан. Когда коэффициент при x² не равен 1, нужен более сложный метод — смотри раздел 3.4.
3.4 Factorisation by Splitting the Middle Term: ax² + bx + c (a ≠ 1)
This is the method used in MYP 5 (Chapter 2, Section G).
Step 1: Multiply the coefficient of x² by the constant term (a × c)
Step 2: Find two factors of this product whose sum equals b
Step 3: Split the middle term using these two numbers, then factorise by grouping
Example: Factorise $2x^{2} - 3x - 2$
Step 1: $a \times c = 2 \times (-2) = -4$
Step 2: We need two numbers with product = −4 and sum = −3 → numbers are −4 and +1
Step 3: $2x^{2} - 4x + x - 2$
$= 2x(x - 2) + 1(x - 2)$
$= (2x + 1)(x - 2)$
Example: Factorise $6x^{2} + 17x + 12$
Step 1: $6 \times 12 = 72$
Step 2: Factors of 72 with sum 17 → 8 and 9
Step 3: $6x^{2} + 8x + 9x + 12$
$= 2x(3x + 4) + 3(3x + 4)$
$= (3x + 4)(2x + 3)$
Пояснение: Разложение методом группировки (splitting the middle term)
Это ключевой метод из программы MYP 5, которого нет в латвийской школьной программе. На экзамене ISMA он встречается регулярно. Главная ловушка: произведение берётся a × c, а НЕ просто c. Отработай этот метод до автоматизма — калькулятор здесь не поможет, нужно уметь делать руками.
3.5 Factorising Expressions with Four Terms (Grouping)
Example: $x^{3} + 2x^{2} - 9x - 18$
$= x^{2}(x + 2) - 9(x + 2)$
$= (x^{2} - 9)(x + 2)$
$= (x + 3)(x - 3)(x + 2)$
Пояснение: Группировка выражений с четырьмя членами
Этот метод — продолжение splitting the middle term (раздел 3.4): там ты сам разбиваешь средний член, а здесь четыре члена уже даны. Группируй по два, выноси общий множитель из каждой пары, и если в скобках одинаковое выражение — готово. На экзамене может быть как отдельная задача, так и шаг внутри более сложной.
3.6 Simplifying Algebraic Fractions
Factorise numerator and denominator, then cancel common factors.
$\displaystyle \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 2x - 15}$
$\displaystyle = \frac{(x + 3)(x - 3)}{(x - 5)(x + 3})$
$\displaystyle = \frac{x - 3}{x - 5}$
Пояснение: Упрощение алгебраических дробей
Здесь соединяются все навыки из раздела 3: чтобы упростить дробь, нужно разложить числитель и знаменатель на множители (используя любой метод из 3.1–3.5), а потом сократить одинаковые. Главное правило: сокращать можно только МНОЖИТЕЛИ, не отдельные слагаемые. Эти задания часто стоят 3–4 балла на экзамене.
Part 4: Negative and Rational (Fractional) Indices — in detail
4.1 Negative Rational Index
$\displaystyle a^{\frac{-m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{(\sqrt[n]{a})^{m}}$
Example: Evaluate $\displaystyle \left(\frac{16}{25}\right)^{\frac{-1}{2}}$
$\displaystyle = \frac{1}{\left(\frac{16}{25}\right)^{\frac{1}{2}}}$
$\displaystyle = \frac{1}{\frac{4}{5}}$
$\displaystyle = \frac{5}{4}$
Example from ISMA prep test (Q13b): Simplify $\displaystyle (\frac{16w^{8}}{y^{20}})^{\frac{-3}{4}}$
Step 1: Negative index → flip the fraction
$\displaystyle = (\frac{y^{20}}{16w^{8}})^{\frac{3}{4}}$
Step 2: Apply power 3/4 to each part
$\displaystyle = \frac{(y^{20})^{\frac{3}{4}}}{(16)^{\frac{3}{4}} \times (w^{8})^{\frac{3}{4}}}$
$\displaystyle = \frac{y^{15}}{16^{\frac{3}{4}} \times w^{6}}$
Step 3: Evaluate $\displaystyle 16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^{3} = 2^{3} = 8$
Answer: $\displaystyle \frac{y^{15}}{8w^{6}}$
Пояснение: Отрицательные дробные степени
Этот тип заданий — один из самых сложных в разделе алгебры на экзамене ISMA (был в Q13b подготовительного теста). Алгоритм: отрицательная степень → переверни дробь, затем дробная степень → корень и возведение. Знание степеней из раздела 1.2 здесь очень помогает (например, 16 = 2⁴, поэтому 16^(3/4) = 8).
4.2 Simplifying Expressions with Surds
(from MYP 5, Chapter 3: Radicals and Surds)
Key properties:
- $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
- $\displaystyle \sqrt{a/b} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
- $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$
Example: Simplify $\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{3}$
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$
$So: 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} = 0$
Пояснение: Упрощение выражений с корнями (сурдами)
Сурды (surds) — это иррациональные корни, которые нельзя упростить до целого числа. На экзамене нужно уметь приводить их к «простейшему виду»: выноси полные квадраты из-под корня (√12 = 2√3), а потом складывай/вычитай «одинаковые» корни как подобные члены. Этот навык также нужен в геометрии (глава 4) при работе с теоремой Пифагора.
Part 5: Standard Form (Scientific Notation)
A number is in standard form when written as a × 10^n, where 1 ≤ a < 10.
Examples:
- $45000 = 4.5 \times 10^{4}$
- $0.0032 = 3.2 \times 10^{-3}$
Operations in standard form:
Given a = 4.2 × 10⁻²⁴ and b = 3 × 10¹⁴⁵
$a \times b = (4.2 \times 3) \times 10^{-24+145} = 12.6 \times 10^{121} = 1.26 \times 10^{122}$
(Remember to adjust so the coefficient is between 1 and 10)
Part 6: Rearranging Formulae (Making a Variable the Subject)
Goal: isolate the specified variable on one side.
Example 1: Make t the subject of $c = t^{3} - 8v$
$c + 8v = t^{3}$
$\displaystyle t = \sqrt[3]{c + 8v}$
Example 2: Make x the subject of $\displaystyle \frac{2}{a} = \frac{5}{\sqrt{x}}$
Cross-multiply: $2\sqrt{x} = 5a$
$\displaystyle \sqrt{x} = \frac{5a}{2}$
$\displaystyle x = \left(\frac{5a}{2}\right)^{2} = \frac{25a^{2}}{4}$
Example 3: Make x the subject of $\displaystyle 2(x + y^{2}) = 1 + \frac{x}{a}$
Expand: $\displaystyle 2x + 2y^{2} = 1 + \frac{x}{a}$
Multiply through by a: $2ax + 2ay^{2} = a + x$
Collect x terms: $2ax - x = a - 2ay^{2}$
Factor out x: $x(2a - 1) = a - 2ay^{2}$
$\displaystyle x = \frac{a(1 - 2y^{2})}{2a - 1}$
Key technique: When the variable appears in more than one place, collect all terms with that variable on one side, factor it out, then divide.
Exam Traps / Ловушки на экзамене
❌ Trap 1: Index laws with addition
x³ + x⁴ = x⁷ — WRONG! Index laws only work with × and ÷.
✅ x³ + x⁴ = x³(1 + x) — factor out the common power.
Ловушка: законы степеней работают ТОЛЬКО с умножением и делением. При сложении — выноси общий множитель.
❌ Trap 2: Forgetting to raise the coefficient
$(2x^{3})^{2} = 2x^{6} — WRONG!$
✅ (2x³)² = 2² × (x³)² = 4x⁶ — square EVERYTHING inside the bracket.
Ловушка: при возведении в степень возводи ВСЁ: и коэффициент, и переменную. (2x³)² = 4x⁶, не 2x⁶.
❌ Trap 3: "Difference of squares" applied to sums
x² + 9 = (x + 3)(x − 3) — WRONG! This is a SUM, not a difference.
✅ x² − 9 = (x + 3)(x − 3). But x² + 9 CANNOT be factorised.
Ловушка: a² − b² = (a+b)(a−b), но a² + b² НЕ раскладывается на множители!
❌ Trap 4: Dropping the middle term in perfect square
$(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2} — WRONG!$
✅ (a − b)² = a² − 2ab + b² — the middle term −2ab is essential.
Ловушка: (a − b)² ≠ a² − b². Средний член −2ab обязателен! Запомни: квадрат разности — три члена.
❌ Trap 5: Negative index = negative number
$x^{-2} = -x^{2} — WRONG!$
✅ x⁻² = 1/x² — negative exponent means reciprocal, not negative value.
Ловушка: отрицательная степень = ДРОБЬ (обратное). x⁻² = 1/x², а не −x².
❌ Trap 6: Splitting the middle term — wrong product
Factorising 6x² + 17x + 12: looking for two numbers with product 12 — WRONG!
✅ Product must be a × c = 6 × 12 = 72. Then find two numbers with product 72 and sum 17 → 8 and 9.
Ловушка: при разложении ax² + bx + c ищи числа с произведением a×c (не просто c!) и суммой b.
❌ Trap 7: Cancelling terms instead of factors
(x² + 3x)/(x + 3) — cancelling 3x with (x+3) → x² — WRONG!
✅ Factor first: x(x + 3)/(x + 3) = x. Cancel only FACTORS, never individual terms.
Ловушка: сокращать можно только МНОЖИТЕЛИ, не слагаемые. Сначала разложи числитель/знаменатель.
❌ Trap 8: Rational index — wrong order of operations
27^(2/3) = 27² then cube root = ³√729 — works but risky with big numbers!
✅ Better: 27^(2/3) = (³√27)² = 3² = 9 — take the root FIRST to keep numbers small.
Ловушка: при дробной степени бери корень ПЕРВЫМ: 27^(2/3) = (³√27)² = 9. Если сначала возвести 27² = 729 — числа станут огромными.